问如何求平行于一个向量的单位向量

【如何求平行于一个向量的单位向量】在向量运算中，单位向量是一个非常重要的概念。它表示方向不变、长度为1的向量。当我们需要找到一个与给定向量方向相同或相反的单位向量时，可以通过标准化该向量来实现。

一、基本概念

二、步骤详解

要找到一个与给定向量 $\vec{v}$ 平行的单位向量，可以按照以下步骤进行：

1. 计算向量的模长

向量 $\vec{v} = (x, y)$ 的模长为：

$$

\\vec{v}\ = \sqrt{x^2 + y^2}

$$

2. 将向量除以模长

得到单位向量 $\hat{u}$：

$$

\hat{u} = \frac{\vec{v}}{\\vec{v}\} = \left( \frac{x}{\\vec{v}\}, \frac{y}{\\vec{v}\} \right)

$$

3. 可选：取反方向的单位向量

若需与原向量方向相反的单位向量，则乘以 -1：

$$

-\hat{u} = \left( -\frac{x}{\\vec{v}\}, -\frac{y}{\\vec{v}\} \right)

$$

三、示例说明

假设我们有一个向量 $\vec{v} = (3, 4)$，求其单位向量。

1. 计算模长：

$$

\\vec{v}\ = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

$$

2. 计算单位向量：

$$

\hat{u} = \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right)

$$

3. 反方向单位向量：

$$

-\hat{u} = \left( -\frac{3}{5}, -\frac{4}{5} \right)

$$

四、总结表格

通过上述方法，我们可以快速地求出任意一个向量的单位向量，并根据需要选择正方向或反方向。掌握这一技能对于学习向量分析、物理运动学以及计算机图形学等都有重要意义。